domingo, 16 de noviembre de 2014

las ecuaciones de Maxwell

Los campos electromagnéticos se propagan por el espacio en forma de ondas, que pueden viajar a través de un medio así como en el vacío. Las ecuaciones de onda electromagnéticas son necesarias para describir la propagación de las ondas electromagnéticas, tanto en presencia de materia como en el vacío.

Ecuaciones de onda y las ecuaciones de Maxwell

Como se puede apreciar tenemos ecuaciones de onda tanto para el campo eléctrico \vec{E} como para el campo magnético \vec{B} , que son obtenidas a partir de las ecuaciones de Maxwell teniendo que:
\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\nabla \times \vec{B}=\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})
Para obtener las ecuaciones es necesario aplicar el operador rotacional a ambas.

Ecuación de onda para E

\nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{B})
Sustituyendo \nabla \times \vec{B} y aplicando identidad de rotacional tenemos:
-\nabla^2 \vec{E}+\nabla (\nabla \cdot \vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 (\vec{J}+\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})
Ahora bien, sabemos que la segunda parte del lado izquierdo es cero y \vec{J} es cero en el vacío, quedándonos solo
-\nabla^2 \vec{E}=-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}
Ahora, igualando a cero y sabiendo que \mu_0 \epsilon_0=\frac{1}{c^2}, siendo c la velocidad de la luz, tenemos la ecuación de onda para \vec{E}:
\nabla^2 \vec{E}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0

Ecuación de onda para B

\nabla \times (\nabla \times \vec{B})=\nabla \times (\mu_0(\vec{J}+ \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}))
Aplicando las mismas identidades que con \vec{E} y sabiendo que \vec{J}, también es cero, nos queda:
-\nabla^2 \vec{B}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{E})
Sustituyendo \nabla \times \vec{E} e igualando a cero, tenemos la ecuación de onda para \vec{B}.
\nabla^2 \vec{B}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}=0
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